同じ脚、同じ一押し——なのに別の自転車 長い坂の中腹で、マーラはひそかな遊びをしている。ペダルにほんのわずかな追い押しを——息ほどの力を——与えて、路面に返ってくる答えを探るのだ。このギアでは、自転車はほとんど気づいてもくれない。二段変えて、同じささやきほどの一押し——今度は車体が跳びだした。脚は何も変わっていない。彼女の一押しのうちどれだけが車輪まで生き残るかを、いったい何が決めているのだろう?
小さな揺れを、一段ずつたどる その晩、小屋で自転車を逆さに立てて、彼女は一押しが実際にたどる道筋を追いかける。ペダルがクランクを回し、クランクがチェーンリングを回し、チェーンリングがチェーンを引き、チェーンが後ろの小さなギアを回し、ギアが車輪を回す。彼女の一押しは路面に直接触れることは決してない——段の連なりを順に手渡されていき、各段がそれぞれの交換レートで先へ渡していくのだ……
段は足し算ではなく、掛け算で効く 彼女は手で確かめる。クランクをほんの少し押して、リムがどれだけ振れるかを見るのだ。ある段が揺れを二倍にし、次の段が三倍にするなら、リムは押した量の六倍動く——五倍ではない。各段は受け取ったものを自分の倍率で拡大縮小する。だから道筋全体の倍率は、段の倍率の積になる。これで奇妙なギアの謎は解けた——だが、もっと暗い何かも見えてくる……
一段のたるみが、鎖全体を飢えさせる 雨の続いたある週、チェーンはたるみ、すり減った後ろのギアが滑る。その段は、受け取ったもののほとんどを先へ渡せない。そして、ほぼゼロの因子をひとつ含む積は、ほぼゼロだ——どれほど必死にペダルを踏んでも、路面には幽霊ほどの力しか届かない。ほかの段がどれだけ優れていても関係ない。掛け算に情けはない。そして、正反対の組み合わせもまた劇的で……
すべての段が増幅するとき いちばん重いギアでは、どの段も揺れを上向きに拡大する。積は、ペダルへの息ほどの力をリムの跳ねに変える——胸のすくような、それでいて驚いた猫のように過敏な乗り味だ。だからマーラは、自転車をひとつの機械として扱うのをやめる。路面が彼女の足の何を感じ取るかを知るには、道筋に並ぶ小さな交換レートを、一段ずつ掛け合わせればいい。この習慣には名前がある……
感度は積で決まる——連鎖律 (f∘u)′(x)=f′(u(x))⋅u′(x)(f \circ u)'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) 変化が段の連なりを流れるとき、各段には固有の局所レートがあり、端から端までの感度はそれらのレートの積になる。これが連鎖律だ——式はこう読む。道筋全体のレートは、二段目の傾き掛ける一段目の傾き。層を重ねて学ぶ機械は、まさにこのやり方で、誤りから各つまみまで局所的な傾きを掛け合わせながら、あらゆる押しをたどっていく。
🌱 0.9の段が百段なら——1.1なら? 夕暮れの中を家へ走りながら、マーラは自転車よりずっと長い連なりのことを考える。ささやきを、それぞれ0.9倍にする百の段に通せば、届くのはほとんど無。どの段も1.1倍なら、雪崩になって着地する。たくさんの段でできたものが、ささやきを無傷のまま手渡していくには、どうすればいい?——そして、そのとき各段が張りつくべき値はいくつだろう?
