Un souffle sur la pédale, multiplié jusqu'à la route. · Source

Mêmes jambes, même poussée — un autre vélo

À mi-pente de la longue côte, Mara joue à un jeu secret : elle donne à la pédale une minuscule pression de plus, un souffle de force, et guette la réponse sur la route. Sur ce braquet, le vélo la remarque à peine. Deux clics, le même souffle de pression — et voilà le vélo qui bondit. Ses jambes n'ont pas changé. Qu'est-ce qui décide de la part de sa poussée qui survit au voyage jusqu'à la roue ?

Suis la petite secousse, étage par étage

Le soir, vélo retourné dans la remise, elle retrace le chemin que suit vraiment sa poussée. La pédale tourne la manivelle, la manivelle tourne le plateau, le plateau entraîne la chaîne, la chaîne tourne le petit pignon arrière, le pignon tourne la roue. Sa pression ne touche jamais la route directement — elle descend un pipeline, et chaque étage la transmet à son propre taux de change…

Les étages ne s'ajoutent pas — ils se multiplient

Elle vérifie avec les mains : pousse un peu la manivelle, regarde de combien balaie la jante. Si un étage double la secousse et que le suivant la triple, la jante bouge de six fois la poussée — pas cinq. Chaque étage met à l'échelle ce qu'il reçoit, donc le chemin entier est mis à l'échelle par le produit de ses étages. Voilà qui explique les braquets étranges — et laisse deviner quelque chose de plus sombre…

Un seul étage mou affame toute la chaîne

Une semaine de pluie, la chaîne se détend et le pignon usé patine : cet étage ne transmet presque rien de ce qu'il reçoit. Et un produit avec un facteur presque nul est presque nul — elle peut pédaler avec rage, la route ne sent qu'un fantôme. Peu importe la qualité de tous les autres étages. La multiplication est sans pitié. L'arrangement inverse est tout aussi spectaculaire…

Quand chaque étage amplifie

Sur son braquet le plus dur, chaque étage amplifie la secousse, et le produit change un souffle sur la pédale en embardée à la jante — grisant, et nerveux comme un chat surpris. Alors Mara cesse de traiter le vélo comme une seule machine. Pour savoir ce que la route sentira de son pied, elle multiplie les petits taux de change le long du chemin, étage par étage. Cette habitude porte un nom…

La sensibilité est un produit : la règle de la chaîne

(f \circ u)'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)

Quand le changement traverse un pipeline, chaque étage a son propre taux local, et la sensibilité de bout en bout est ces taux multipliés. C'est la règle de la chaîne — l'équation se lit : le taux du chemin entier est la pente de l'étage deux fois celle de l'étage un. Les machines qui apprennent par couches suivent chaque poussée exactement ainsi, multipliant les pentes locales de l'erreur jusqu'à chaque bouton.

🌱 Cent étages à 0,9 — ou à 1,1 ?

En rentrant dans le crépuscule, Mara songe à des pipelines bien plus longs qu'un vélo. Fais passer un souffle par cent étages qui le multiplient chacun par 0,9, et presque rien n'arrive ; mets chaque étage à 1,1, et il atterrit en avalanche. Comment une chose faite de tant d'étages transmet-elle un souffle intact — et près de quelle valeur chaque étage devrait-il se tenir ?